6 He sometimes fantasizes...... FANTASY that he has won the Nobel Prize.

Применим ПРОТОКОЛ А.

1. Определим орфограмму: безударная гласная в корне слова.
2. Кратко сформулируем правило: чтобы проверить безударную гласную, нужно изменить форму слова или подобрать однокоренное слово так, чтобы гласный стал ударным.
3. Разберём слово:

  мечтать
  фа́нтазия

4. Вывод: нужно вставить гласную И, так как в однокоренном слове фа́нтазия она стоит под ударением.

Ответ: He sometimes fantasizes... that he has won the Nobel Prize.