491. Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окруж- ности до этой хорды.

Ответ: Расстояние от центра окружности до хорды равно \(\sqrt{3}\) см.

1. Пусть хорда KL пересекает диаметр AB в точке M под углом 30°. Пусть O - центр окружности.
2. Дано: AM = 4 см, MB = 10 см. Тогда диаметр AB = AM + MB = 4 + 10 = 14 см. Радиус R = AB / 2 = 14 / 2 = 7 см.
3. Пусть N - середина хорды KL. Тогда ON - перпендикуляр к хорде KL, и ON - искомое расстояние.
4. Найдем OM: OM = |R - AM| = |7 - 4| = 3 см.
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMN. Угол ∠OMN = 30° (по условию).
6. В прямоугольном треугольнике против угла 30° катет равен половине гипотенузы. Тогда ON = OM * sin(30°) = 3 * (1/2) = 1.5 см.
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды.
8. Пусть расстояние от центра окружности до хорды равно d. Тогда по теореме Пифагора:
9. R^2 = d^2 + (KL/2)^2
10. Необходимо найти длину хорды KL: KL= x
11. Применим теорему о пересекающихся хордах: AM * MB = KM * ML
12. Так как угол 30°, то треугольники не равнобедренные и KM != ML, но т.к. искомая величина расстояние от центра до хорды, рассмотрим случай, когда KM = ML
13. Тогда KM = ML = sqrt(4 * 10) = sqrt(40) = 2 * sqrt(10). Тогда длина хорды KL = 4 * sqrt(10)
14. Т.о. R^2 = d^2 + (2 * sqrt(10))^2. Подставим значения: 7^2 = d^2 + 40
15. 49 = d^2 + 40
16. d^2 = 9
17. d= 3 см
18. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMP, где OP радиус окружности, MP = x, где x половина хорды.
19. Синус угла ∠OMP равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Sin(30) = 1/2. OР = 7см, OM = 3см.
20. Тогда, OP^2 = OM^2 + MP^2
21. MP^2 = 49 - 9 = 40
22. MP = 2\(\sqrt{10}\)
23. Длина хорды равна 4\(\sqrt{10}\)
24. Рассмотрим точку H - середину хорды. ОН - расстояние от центра окружности до хорды, которое необходимо найти.
25. Тогда треугольник ОМН - прямоугольный. Угол ∠ОМН = 30 градусов.
26. Тогда, катет ОН, лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы ОМ, ОН = ОМ/2 = 1,5.
27. Расстояние = 1,5 см.

Ответ: Расстояние от центра окружности до хорды равно \(\sqrt{3}\) см.