1. Хорды окружности АК и МЕ пересекаются в точке О. Найти длину отрезка МО и ОЕ, если АО = 15 см, ОК = 3 см, МЕ = 14 см.

Поскольку хорды AK и ME пересекаются в точке O, можно использовать свойство пересекающихся хорд: $$AO \cdot OK = MO \cdot OE$$ Подставим известные значения: $$15 \cdot 3 = MO \cdot OE$$ $$45 = MO \cdot OE$$ Также известно, что ME = 14 см, следовательно, можно записать: $$MO + OE = 14$$ Теперь у нас есть система уравнений: $$\begin{cases} MO \cdot OE = 45 \\ MO + OE = 14 \end{cases}$$ Выразим MO из второго уравнения: $$MO = 14 - OE$$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$(14 - OE) \cdot OE = 45$$ $$14OE - OE^2 = 45$$ $$OE^2 - 14OE + 45 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно OE. Дискриминант D = $$b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16$$. $$OE_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{16}}{2} = \frac{14 + 4}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$OE_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{16}}{2} = \frac{14 - 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Если OE = 9, то MO = 14 - 9 = 5. Если OE = 5, то MO = 14 - 5 = 9. Таким образом, значения MO и OE равны 5 см и 9 см (в любом порядке). Ответ: MO = 5 см, OE = 9 см или MO = 9 см, OE = 5 см