2. Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пересекающие окружность в точках В, С и М, К соответственно, начиная от точки А. Найти длину отрезка АВ, если ВС, если AM = 6, АК = 8, AB : BC = 2:4.

По условию задачи, точка A находится вне окружности, и из неё проведены лучи AC и AK, пересекающие окружность в точках B, C, M, K соответственно. Дано: AM = 6, AK = 8, AB : BC = 2 : 4. Нужно найти длину отрезка AB. Из отношения AB : BC = 2 : 4 следует, что BC = 2AB. Тогда AC = AB + BC = AB + 2AB = 3AB. По теореме о секущих, проведенных из одной точки вне окружности, имеем: $$AM \cdot AK = AB \cdot AC$$ Подставляем известные значения: $$6 \cdot 8 = AB \cdot 3AB$$ $$48 = 3AB^2$$ $$AB^2 = \frac{48}{3} = 16$$ $$AB = \sqrt{16} = 4$$ Ответ: AB = 4