I regret ___ you that your project application has been rejected. (to inform)

Здесь пропущено слово to inform.

Объяснение: Глагол 'regret' может использоваться как с герундием, так и с инфинитивом, но значение меняется. 'Regret informing' означало бы сожаление о том, что ты уже сообщил что-то. 'Regret to inform' означает сожаление о том, что приходится сообщать плохую новость. В данном контексте используется второе значение.

Ответ: to inform