И. уровень. 2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O. OM, OK, OE — перпендикуляры, опущенные на стороны AB, BC, CD соответственно. Докажите, что OM = OK, и найдите сумму углов MOB и COE.

Диагонали ромба делят его углы пополам. Кроме того, O — центр вписанной в ромб окружности, поэтому расстояния от O до сторон ромба равны. В частности, OM = OK.

Пусть угол B равен β, а угол C — γ. В прямоугольном треугольнике OMB угол OBM равен β/2, поэтому ∠MOB = 90° − β/2. В прямоугольном треугольнике OCE угол OCE равен γ/2, поэтому ∠COE = 90° − γ/2.

Соседние углы ромба supplementary: β + γ = 180°. Тогда

∠MOB + ∠COE = 180° − (β + γ)/2 = 180° − 90° = 90°.

Ответ: OM = OK; ∠MOB + ∠COE = 90°.