I уровень. Вариант I. 1. На луче с началом в точке A отмечены точки B и C. Найдите отрезок BC, если AB = 9,2 см, AC = 2,4 см. Какая из точек лежит между двумя другими? 2. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в четыре раза меньше другого. Найдите эти углы. 3. Луч c — биссектриса ∠(ab). Луч d — биссектриса ∠(ac). Найдите ∠(bd), если ∠(ad) = 20°. 4. Рис. 1.116. Дано: ∠BOC = 148°, OM ⟂ OC, OK — биссектриса ∠COB. Найти: ∠KOM.

Точки B и C лежат на одном луче, поэтому расстояние между ними равно разности расстояний от начала луча: BC = 9,2 − 2,4 = 6,8 см. Так как AC < AB, точка C лежит между A и B.

Смежные углы в сумме дают 180°. Пусть меньший угол равен x, тогда больший равен 4x. Получаем x + 4x = 180°, откуда x = 36°, а 4x = 144°. Вертикальные углы равны, поэтому образуются два угла по 36° и два по 144°.

Так как d — биссектриса угла ∠(ac), то ∠(ac) = 2 · 20° = 40°. Луч c делит ∠(ab) пополам, поэтому ∠(cb) = ∠(ac) = 40°. Следовательно, ∠(bd) = ∠(bc) + ∠(cd) = 40° + 20° = 60°.

OK — биссектриса угла ∠COB, поэтому ∠KOC = 148° : 2 = 74°. Из OM ⟂ OC следует, что ∠MOC = 90°. По рисунку лучи OK и OM расположены внутри прямого угла между OC и OM; значит, ∠KOM = 90° − 74° = 16°.

Ответ: 1) BC = 6,8 см, C лежит между A и B; 2) 36° и 144°; 3) 60°; 4) 16°.