I вариант. 1. Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведён перпендикуляр CE к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что AE = (AD + BC)/2. 2. В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в 60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.

1. Пусть основания трапеции — AD и BC, причём AD > BC. Опустим из вершины C перпендикуляр CE на AD. В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому отрезок у правого края основания равен отрезку у левого края, а оставшаяся часть основания AD равна BC.

Следовательно, AE состоит из основания BC и одного из двух равных краевых отрезков. А AD состоит из BC и обоих таких отрезков. Значит, AE — среднее арифметическое оснований:

\(AE=\dfrac{AD+BC}{2}\). Что и требовалось доказать.

2. Обозначим большее основание через \(b\), меньшее — через \(a\), а высоту трапеции — через \(h\). Введём координаты: нижнее основание от \((0,0)\) до \((b,0)\), верхнее — от \((0,h)\) до \((a,h)\). Тогда длины векторов диагоналей можно выразить через \(a,b,h\).

Перпендикулярность диагоналей даёт \(h^2=ab\): их направляющие векторы можно взять \((a,h)\) и \((-b,h)\), а их скалярное произведение равно \(-ab+h^2\).

Большая диагональ образует угол \(60^\circ\) с меньшей боковой стороной, то есть с перпендикулярной основаниям боковой стороной длины \(h\). Поэтому косинус этого угла равен отношению \(h\) к длине большой диагонали \(d\): \(h/d=1/2\), откуда \(d=2h\). Для большой диагонали \(d^2=b^2+h^2\), значит, \(b^2+h^2=4h^2\), то есть \(b^2=3h^2\).

Теперь найдём квадрат меньшей диагонали \(q\):

\(q^2=a^2+h^2=a^2+ab=a(a+b)\).

Из \(h^2=ab\) и \(b^2=3h^2\) следует \(a=b/3\). Поэтому \(q^2=\dfrac{b}{3}\cdot\dfrac{4b}{3}=\dfrac{4b^2}{9}\), откуда \(q=2b/3\). При этом \((a+b)/2=(b/3+b)/2=2b/3\). Следовательно, меньшая диагональ равна полусумме оснований.

Ответ: меньшая диагональ равна \((a+b)/2\), где \(a\) и \(b\) — основания трапеции.