II вариант. 1. В трапеции МНРК МК — большее основание. Прямые МН и РК пересекаются в точке Е, ∠МЕК = 80°, ∠ЕНР = 40°. Найдите углы трапеции. 2. В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее основание.

1. Так как E, M, H лежат на одной прямой, а E, P, K — на другой, углы \(\angle HEP\) и \(\angle MEK\) равны как вертикальные. Поэтому \(\angle HEP=80^\circ\).

В треугольнике EHP известны два угла: \(\angle HEP=80^\circ\) и \(\angle EHP=40^\circ\). Тогда \(\angle EPH=180^\circ-80^\circ-40^\circ=60^\circ\).

Угол трапеции при H смежный с \(\angle EHP\), поэтому он равен \(140^\circ\). Угол при P смежный с \(\angle EPH\), поэтому он равен \(120^\circ\). Поскольку основания параллельны, соседние углы при каждой боковой стороне в сумме дают \(180^\circ\). Значит, угол при M равен \(40^\circ\), а при K — \(60^\circ\).

Ответ: \(\angle M=40^\circ\), \(\angle H=140^\circ\), \(\angle P=120^\circ\), \(\angle K=60^\circ\).

2. Пусть высота прямоугольной трапеции равна \(h\), а разность оснований — \(x\). В прямоугольном треугольнике у наклонной боковой стороны острый угол равен \(60^\circ\). Поэтому наклонная боковая сторона равна \(2h/\sqrt3\), а разность оснований равна \(h/\sqrt3\).

По условию большая боковая сторона и большее основание имеют длину 20 см. Из равенства \(2h/\sqrt3=20\) получаем \(h=10\sqrt3\) см, а значит, разность оснований \(x=h/\sqrt3=10\) см.

Меньшее основание равно разности большего основания и разности оснований: \(20-10=10\) см.

Ответ: 10 см.