II уровень, I вариант. 1. В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой стороной угол в 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию. Найдите углы трапеции.

Пусть меньшее основание равно боковой стороне, а угол между диагональю и боковой стороной равен 120°. Угол между ними внутри трапеции тогда равен 60°.

Обозначим острый угол трапеции через \(\alpha\). Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, меньшим основанием и диагональю. Две его стороны равны, поэтому углы при основании равны. Угол между равными сторонами равен \(\alpha\), а каждый из двух остальных углов равен \((180°-\alpha)/2\). По условию один из этих углов составляет с боковой стороной 120°, следовательно, внутренний угол треугольника между диагональю и боковой стороной равен 60°. Получаем \(\alpha=60°\).

Соседние углы при боковой стороне трапеции в сумме равны 180°, а углы при каждом основании равны.

Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.