I вариант. 3. Дан отрезок, равный перпендикуляру, опущенному из вершины некоторого квадрата на диагональ. Постройте этот квадрат.

Для произвольного квадрата длина перпендикуляра из вершины на противоположную диагональ равна половине диагонали. Поэтому данный отрезок задаёт сторону квадрата.

1. Обозначим данный отрезок длины d. Постройте квадрат ABCD со стороной d: постройте AB = d, восстановите перпендикуляры к AB через A и B, отложите AD = BC = d и соедините C и D.
2. Проведите диагональ AC и из вершины B опустите на неё перпендикуляр BH.
3. Поскольку диагональ квадрата равна d√2, расстояние от вершины B до диагонали AC равно d√2/2. Это и есть d/√2, а не d.

Следовательно, для квадрата со стороной d условие не выполняется. Чтобы построить квадрат, для которого данный отрезок равен такому перпендикуляру, сначала постройте квадрат со стороной d√2: его диагональ равна 2d, и расстояние от вершины до диагонали равно d.

Практически: постройте квадрат со стороной данного отрезка, проведите его диагональ; длина диагонали будет d√2 — это искомая сторона квадрата. Постройте квадрат на отрезке, равном этой диагонали.