I вариант, 5*. Высота BM, проведённая из вершины угла ромба ABCD, образует со стороной AB угол 30°, AM = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка M лежит на стороне AD.

Так как BM — высота к стороне AD, то BM ⟂ AD. Угол между BM и AB равен 30°, поэтому угол между AB и AD равен 60° (учитывая, что M лежит на стороне AD).

В прямоугольном треугольнике ABM угол A равен 60°, а AM = 4 см. Тогда AM = AB · cos 60°, откуда AB = 4 : 0,5 = 8 см. Все стороны ромба равны, следовательно, AD = 8 см.

Диагональ BD — сторона треугольника ABD напротив угла A. По теореме косинусов: BD² = 8² + 8² − 2 · 8 · 8 · cos 60° = 64. Значит, BD = 8 см.

Ответ: 8 см.