I вариант, I уровень. 2. В треугольнике MNK MN = NK, MK = √2, ∠M = 30°, MA — биссектриса. Найдите MA.

Так как \(MN=NK\), углы, лежащие против этих равных сторон, равны: \(\angle K=\angle M=30^\circ\). Тогда \(\angle N=120^\circ\).

По теореме синусов: \(\frac{MN}{\sin30^\circ}=\frac{MK}{\sin120^\circ}\), поэтому \(MN=\frac{\sqrt2\cdot\sin30^\circ}{\sin120^\circ}=\frac{2}{\sqrt3}\).

Длина биссектрисы из вершины M равна \(MA=\frac{2\cdot MN\cdot MK\cdot\cos(\angle M/2)}{MN+MK}\).

Подставим значения: \(MA=\frac{2\cdot(2/\sqrt3)\cdot\sqrt2\cdot\cos15^\circ}{2/\sqrt3+\sqrt2}=1\).

Ответ: 1.