10. Игорь и Паша красят забор за 20 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Пусть x - часть забора, которую Игорь красит за 1 час.

Пусть y - часть забора, которую Паша красит за 1 час.

Пусть z - часть забора, которую Володя красит за 1 час.

Тогда:

$$x + y = \frac{1}{20}$$,

$$y + z = \frac{1}{24}$$,

$$z + x = \frac{1}{30}$$.

Сложим все три уравнения:

$$2(x + y + z) = \frac{1}{20} + \frac{1}{24} + \frac{1}{30}$$.

Приведем дроби к общему знаменателю 120:

$$2(x + y + z) = \frac{6}{120} + \frac{5}{120} + \frac{4}{120} = \frac{15}{120} = \frac{1}{8}$$.

$$x + y + z = \frac{1}{16}$$.

Тогда, работая втроем, они красят $$\frac{1}{16}$$ часть забора за 1 час, а весь забор они покрасят за 16 часов.

Ответ: 16