270 Игральную кость бросили 10 раз. Известно, что двойка выпала трижды. Найдите вероятность того, что в первых 5 бросаниях: а) не было ни одной двойки; б) была ровно 1 двойка; в) выпало 2 двойки; г) двойка выпала трижды.

Общее количество бросков: 10. Количество выпадений двойки: 3. Требуется найти вероятность для первых 5 бросаний.

Вероятность выпадения двойки в одном броске: \(\frac{1}{6}\) Вероятность не выпадения двойки в одном броске: \(\frac{5}{6}\)

а) Не было ни одной двойки:

В первых 5 бросках не выпало ни одной двойки. Значит, все 3 двойки выпали в оставшихся 5 бросках.

Количество способов, которыми 3 двойки могут выпасть в последних 5 бросках:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Общее количество способов, которыми могут выпасть 3 двойки в 10 бросках:

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2} = 120$$

Вероятность того, что в первых 5 бросках не было ни одной двойки: $$P(A) = \frac{C_5^3}{C_{10}^3} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$$

б) Была ровно 1 двойка:

В первых 5 бросках выпала 1 двойка, значит, в оставшихся 5 бросках выпали 2 двойки.

Количество способов выбрать 1 двойку из 5 бросков:

$$C_5^1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$$

Количество способов выбрать 2 двойки из 5 бросков:

$$C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Вероятность того, что в первых 5 бросках была ровно одна двойка: $$P(B) = \frac{C_5^1 \cdot C_5^2}{C_{10}^3} = \frac{5 \cdot 10}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \approx 0.4167$$

в) Выпало 2 двойки:

В первых 5 бросках выпало 2 двойки, значит, в оставшихся 5 бросках выпала 1 двойка.

Количество способов выбрать 2 двойки из 5 бросков:

$$C_5^2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Количество способов выбрать 1 двойку из 5 бросков: $$C_5^1 = \frac{5!}{1!4!} = 5$$

Вероятность того, что в первых 5 бросках выпало 2 двойки: $$P(C) = \frac{C_5^2 \cdot C_5^1}{C_{10}^3} = \frac{10 \cdot 5}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \approx 0.4167$$

г) Двойка выпала трижды:

В первых 5 бросках выпало 3 двойки, значит, в оставшихся 5 бросках двоек не было.

Количество способов выбрать 3 двойки из 5 бросков:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$

Количество способов не выбрать ни одной двойки из 5 бросков, если их там и так не должно быть:

$$C_5^0 = 1$$

Вероятность того, что в первых 5 бросках выпало 3 двойки: $$P(D) = \frac{C_5^3 \cdot C_5^0}{C_{10}^3} = \frac{10 \cdot 1}{120} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12} \approx 0.0833$$

Ответ:

• а) \(\frac{1}{12} \approx 0.0833\)
• б) \(\frac{5}{12} \approx 0.4167\)
• в) \(\frac{5}{12} \approx 0.4167\)
• г) \(\frac{1}{12} \approx 0.0833\)