268 В коробке 11 ручек, из них 4 красные, остальные синие. Из коробки не глядя забирают 5 ручек. Найдите вероятность того, что среди них: а) ровно 2 синие; б) ровно 3 синие; в) все 5 синие; г) не все красные.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу классической вероятности:

$$P(A) = \frac{m}{n}$$,

где m - количество благоприятных исходов, n - общее количество возможных исходов.

Общее количество возможных исходов (способов выбрать 5 ручек из 11) можно рассчитать с помощью формулы сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где n - общее количество элементов, k - количество элементов для выбора.

В нашем случае n = 11 (всего ручек), k = 5 (выбираем 5 ручек).

$$n = C_{11}^5 = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462$$

Теперь рассмотрим каждый случай:

а) ровно 2 синие:

В коробке 11 - 4 = 7 синих ручек.

Нужно выбрать 2 синие ручки из 7 и 3 красные ручки из 4.

$$m_a = C_7^2 \cdot C_4^3 = \frac{7!}{2!5!} \cdot \frac{4!}{3!1!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot \frac{4}{1} = 21 \cdot 4 = 84$$ $$P(A) = \frac{84}{462} = \frac{2}{11} \approx 0.1818$$

б) ровно 3 синие:

Нужно выбрать 3 синие ручки из 7 и 2 красные ручки из 4.

$$m_b = C_7^3 \cdot C_4^2 = \frac{7!}{3!4!} \cdot \frac{4!}{2!2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 35 \cdot 6 = 210$$ $$P(B) = \frac{210}{462} = \frac{5}{11} \approx 0.4545$$

в) все 5 синие:

Нужно выбрать 5 синих ручек из 7.

$$m_c = C_7^5 = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21$$ $$P(C) = \frac{21}{462} = \frac{1}{22} \approx 0.0455$$

г) не все красные:

Это означает, что среди выбранных ручек есть хотя бы одна синяя. Проще рассмотреть противоположное событие - все 5 ручек красные.

Нужно выбрать 5 красных ручек из 4, что невозможно, т.е. число сочетаний равно 0.

Следовательно, вероятность того, что не все красные ручки, равна 1.

$$m_g = C_4^5 = 0$$

Тогда вероятность противоположного события (все 5 ручек красные) равна 0. А искомая вероятность:

$$P(G) = 1 - \frac{0}{462} = 1$$

Ответ:

• а) \(\frac{2}{11} \approx 0.1818\)
• б) \(\frac{5}{11} \approx 0.4545\)
• в) \(\frac{1}{22} \approx 0.0455\)
• г) 1