5. Игральный кубик бросают дважды. Если в первый раз выпало четное число, то кубик бросают еще раз, если нечетное – испытание заканчивают. Постройте дерево вероятностей и найдите вероятность того, что: а) эксперимент закончится после первого броска; б) в результате эксперимента выпадет сумма больше 8; в) будет два броска, и сумма выпавших чисел четная.

Решение:

Игральный кубик имеет 6 граней (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Вероятность выпадения четного числа (2, 4, 6) равна 3/6 = 1/2.

Вероятность выпадения нечетного числа (1, 3, 5) равна 3/6 = 1/2.

Дерево вероятностей будет выглядеть так:

        1/2 (четное)
      / 
     /   1/6 (1)
    /    1/6 (2)
   O ----- 1/2 (нечетное)
    \
     \   1/6 (3)
      \   1/6 (4)
           1/6 (5)
           1/6 (6)

а) Вероятность, что эксперимент закончится после первого броска (выпадет нечетное число):

\[P(закончится\ после\ первого) = \frac{1}{2}\]

б) Вероятность, что в результате эксперимента выпадет сумма больше 8:

Чтобы сумма была больше 8, при первом броске должно выпасть четное число, а при втором:

• Если выпала 2, то нужно 7, чего нет.
• Если выпала 4, то нужно 5 или 6.
• Если выпала 6, то нужно 3, 4, 5 или 6.

\[P(сумма > 8) = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{6} + \frac{4}{6}) = \frac{1}{2} \times \frac{6}{6} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}\]

в) Вероятность, что будет два броска и сумма выпавших чисел четная:

Чтобы сумма была четной, оба броска должны быть либо четными, либо нечетными:

• Четное + четное: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)

\[P(два\ броска\ и\ сумма\ четная) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4}\]