II часть (каждое задание оценивается в 2 балла) 6. Найдите наименьшее натуральное решение неравенства \(x^2-14x+45 > 0\).

Задание 6. Решение неравенства

Для решения неравенства \(x^2-14x+45 > 0\) сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \(x^2-14x+45 = 0\).

Используем теорему Виета или формулу дискриминанта.

Через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(1)(45) = 196 - 180 = 16 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \)

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 4}{2(1)} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 4}{2(1)} = \frac{18}{2} = 9 \]

Теперь представим параболу \(y = x^2-14x+45\). Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) (равный 1) положительный. Корни параболы — 5 и 9. Неравенство \(x^2-14x+45 > 0\) выполняется там, где парабола находится выше оси X, то есть при \(x < 5\) или \(x > 9\).

Нам нужно найти наименьшее натуральное решение. Натуральные числа — это 1, 2, 3, ...

Рассмотрим интервал \(x < 5\). Наибольшее натуральное число здесь — 4. Наименьшим натуральным решением будет 1.

Рассмотрим интервал \(x > 9\). Наименьшее натуральное число здесь — 10.

Сравнивая два возможных наименьших натуральных решения (1 и 10), выбираем наименьшее.

Ответ: 1.