III часть (задание оценивается в 3 балла) 8. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Задание 8. Скорость теплохода

Обозначим:

• \(v_т\) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).
• \(v_р = 5\) км/ч — скорость течения реки.
• \(S = 216\) км — расстояние до пункта назначения.
• \(t_{стоянки} = 5\) часов — время стоянки.
• \(t_{общ} = 23\) часа — общее время в пути (туда, стоянка, обратно).

Скорость теплохода по течению: \(v_{по\: теч} = v_т + v_р = v_т + 5\) (км/ч).

Скорость теплохода против течения: \(v_{против\: теч} = v_т - v_р = v_т - 5\) (км/ч).

Время в пути по течению: \(t_{туда} = \frac{S}{v_{по\: теч}} = \frac{216}{v_т + 5}\) (часов).

Время в пути против течения: \(t_{обратно} = \frac{S}{v_{против\: теч}} = \frac{216}{v_т - 5}\) (часов).

Общее время в пути складывается из времени туда, времени стоянки и времени обратно:

\[ t_{общ} = t_{туда} + t_{стоянки} + t_{обратно} \]

\[ 23 = \frac{216}{v_т + 5} + 5 + \frac{216}{v_т - 5} \]

Вычтем время стоянки из общего времени:

\[ 23 - 5 = \frac{216}{v_т + 5} + \frac{216}{v_т - 5} \]

\[ 18 = \frac{216}{v_т + 5} + \frac{216}{v_т - 5} \]

Разделим обе части уравнения на 18:

\[ 1 = \frac{12}{v_т + 5} + \frac{12}{v_т - 5} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ 1 = \frac{12(v_т - 5) + 12(v_т + 5)}{(v_т + 5)(v_т - 5)} \]

\[ 1 = \frac{12v_т - 60 + 12v_т + 60}{v_т^2 - 25} \]

\[ 1 = \frac{24v_т}{v_т^2 - 25} \]

Умножим обе части на \((v_т^2 - 25)\):

\[ v_т^2 - 25 = 24v_т \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ v_т^2 - 24v_т - 25 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

\( D = (-24)^2 - 4(1)(-25) = 576 + 100 = 676 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \)

Корни уравнения:

\[ v_{т1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ v_{т2} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(v_{т1} = -1\) не подходит.

Скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч.

Ответ: 25 км/ч.