II уровень, 1. Даны пересекающиеся плоскости β и α. Прямая a лежит в плоскости α и пересекает плоскость β в точке A. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает α в точке B. Докажите, что AB — линия пересечения плоскостей α и β.

По условию прямая a лежит в плоскости α и пересекает плоскость β в точке A. Значит, точка A принадлежит одновременно плоскостям α и β.

Аналогично, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке B. Поэтому точка B также принадлежит обеим плоскостям.

1. Две общие точки двух плоскостей определяют прямую.
2. Через точки A и B проходит прямая AB.
3. Следовательно, прямая AB является общей для плоскостей α и β.
4. Так как α и β — пересекающиеся плоскости, их общая прямая и есть линия их пересечения.

Ответ: α ∩ β = AB.