II вариант. Найдите: 1. а) ∫(2x)/(x² + 5) dx; б) ∫(3x)/√(x² + 1) dx; в) ∫cos⁴ x sin x dx. 2. а) ∫√(16 − x²) dx; б) ∫√(1 − 9x²) dx; в) ∫ctg 2x dx.

1. а) Подстановка: производная знаменателя равна 2x. Поэтому \(\int\frac{2x}{x^2+5}\,dx=\ln(x^2+5)+C\).

б) Подстановка \(u=x^2+1\), \(du=2x\,dx\): \(\int\frac{3x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx=3\sqrt{x^2+1}+C\).

в) Подстановка \(u=\cos x\), \(du=-\sin x\,dx\): \(\int\cos^4x\sin x\,dx=-\frac{\cos^5x}{5}+C\).

2. а) Используем формулу \(\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C\), где \(a=4\): \(\int\sqrt{16-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2}+8\arcsin\frac{x}{4}+C\).

б) Подстановка \(u=3x\), \(dx=du/3\): \(\int\sqrt{1-9x^2}\,dx=\frac{1}{3}\int\sqrt{1-u^2}\,du=\frac{x}{2}\sqrt{1-9x^2}+\frac{1}{6}\arcsin(3x)+C\).

в) Так как \(\int\cot u\,du=\ln|\sin u|+C\), при \(u=2x\) получаем \(\int\operatorname{ctg}(2x)\,dx=\frac{1}{2}\ln|\sin(2x)|+C\).