IV вариант. Найдите: 1. а) ∫x/(2x² + 3) dx; б) ∫(5x)/√(x² + 3) dx; в) ∫cos⁵ x sin x dx. 2. а) ∫√(36 − x²) dx; б) ∫√(1 − 25x²) dx; в) ∫ctg 3x dx.

1. а) Производная выражения \(2x^2+3\) равна \(4x\), поэтому \(\int\frac{x}{2x^2+3}\,dx=\frac{1}{4}\ln(2x^2+3)+C\).

б) Подстановка \(u=x^2+3\), \(du=2x\,dx\): \(\int\frac{5x}{\sqrt{x^2+3}}\,dx=5\sqrt{x^2+3}+C\).

в) Подстановка \(u=\cos x\), \(du=-\sin x\,dx\): \(\int\cos^5x\sin x\,dx=-\frac{\cos^6x}{6}+C\).

2. а) По формуле для \(\sqrt{a^2-x^2}\) при \(a=6\): \(\int\sqrt{36-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{36-x^2}+18\arcsin\frac{x}{6}+C\).

б) Подстановка \(u=5x\), \(dx=du/5\): \(\int\sqrt{1-25x^2}\,dx=\frac{1}{5}\int\sqrt{1-u^2}\,du=\frac{x}{2}\sqrt{1-25x^2}+\frac{1}{10}\arcsin(5x)+C\).

в) Подстановка \(u=3x\), \(dx=du/3\): \(\int\operatorname{ctg}(3x)\,dx=\frac{1}{3}\ln|\sin(3x)|+C\).