III вариант. Найдите: 1. а) ∫x/(3x² + 4) dx; б) ∫(2x)/√(x² + 5) dx; в) ∫sin⁶ x cos x dx. 2. а) ∫√(25 − x²) dx; б) ∫√(1 − 36x²) dx; в) ∫tg 2x dx.

1. а) Производная выражения \(3x^2+4\) равна \(6x\), поэтому \(\int\frac{x}{3x^2+4}\,dx=\frac{1}{6}\ln(3x^2+4)+C\).

б) Подстановка \(u=x^2+5\), \(du=2x\,dx\): \(\int\frac{2x}{\sqrt{x^2+5}}\,dx=2\sqrt{x^2+5}+C\).

в) Подстановка \(u=\sin x\), \(du=\cos x\,dx\): \(\int\sin^6x\cos x\,dx=\frac{\sin^7x}{7}+C\).

2. а) По формуле для \(\sqrt{a^2-x^2}\) при \(a=5\): \(\int\sqrt{25-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{25-x^2}+\frac{25}{2}\arcsin\frac{x}{5}+C\).

б) Подстановка \(u=6x\), \(dx=du/6\): \(\int\sqrt{1-36x^2}\,dx=\frac{1}{6}\int\sqrt{1-u^2}\,du=\frac{x}{2}\sqrt{1-36x^2}+\frac{1}{12}\arcsin(6x)+C\).

в) Поскольку \(\int\tan u\,du=-\ln|\cos u|+C\), при \(u=2x\) имеем \(\int\operatorname{tg}(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\ln|\cos(2x)|+C\).