III уровень сложности, вариант 1. 1. В ромбе ABCD $|\overrightarrow{AC}|=12$, $|\overrightarrow{BD}|=16$. От вершин A и B отложены векторы $\overrightarrow{AE}$ и $\overrightarrow{BK}$, равные $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{AC}$ соответственно. Найдите длину вектора $\overrightarrow{KE}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: III уровень сложности, вариант 1. 1. В ромбе ABCD $|\overrightarrow{AC}|=12$, $|\overrightarrow{BD}|=16$. От вершин A и B…$ Фото задания

III уровень сложности, вариант 1. 1. В ромбе ABCD $|\overrightarrow{AC}|=12$, $|\overrightarrow{BD}|=16$. От вершин A и B отложены векторы $\overrightarrow{AE}$ и $\overrightarrow{BK}$, равные $\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{AC}$ соответственно. Найдите длину вектора $\overrightarrow{KE}$.

Accepted Answer

Обозначим через O точку пересечения диагоналей. Диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны, поэтому половины диагоналей равны 6 и 8.

1. Найдём сторону ромба по теореме Пифагора: $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$.

2. Из условия $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AC}$. По правилу сложения векторов:

$\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$.

Для ромба $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$, а $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Следовательно, $\overrightarrow{KE}=-3\overrightarrow{AB}$, и потому $|\overrightarrow{KE}|=3|AB|=30$.

Ответ: 30.