III уровень сложности, вариант 1. 2. Точка M лежит внутри треугольника ABC. От этой точки отложены векторы \(\overrightarrow{MF}\), \(\overrightarrow{ME}\), \(\overrightarrow{MD}\), равные векторам \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BC}\) соответственно. Докажите, что MFED — параллелограмм.

По условию \(\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BC}\).

1. Найдём вектор стороны FE:

\(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{ME}=-\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{ME}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MD}\).

Значит, противоположные стороны FE и MD равны и параллельны.

2. Для второй пары противоположных сторон:

\(\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MD}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FM}\).

Следовательно, ED и FM также равны и параллельны. Значит, MFED — параллелограмм.