Имеет ли решения система { 5x + 2y = 3, -10x + 4y = 6 и сколько?

Привет! Давай разберемся, есть ли у этой системы решений.

Наша система:

\[ \begin{cases} 5x + 2y = 3 \\ -10x + 4y = 6 \end{cases} \]

Способ 1: Сравнение коэффициентов

Чтобы понять, сколько решений у системы, можно сравнить коэффициенты при x, y и свободные члены.

1. Коэффициенты при x: 5 и -10. Отношение: $$\frac{5}{-10} = - \frac{1}{2}$$.

2. Коэффициенты при y: 2 и 4. Отношение: $$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.

3. Свободные члены: 3 и 6. Отношение: $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$.

Что мы видим?

Отношение коэффициентов при x ($$\frac{5}{-10} = -0.5$$) не равно отношению коэффициентов при y ($$\frac{2}{4} = 0.5$$) и отношению свободных членов ($$\frac{3}{6} = 0.5$$).

Вывод по способу 1:

Так как отношения коэффициентов не равны, система имеет одно решение.

Способ 2: Метод подстановки или сложения

Давай попробуем решить эту систему, например, методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:

\[ 2 * (5x + 2y = 3) \]

\[ 10x + 4y = 6 \]

Теперь у нас система:

\[ \begin{cases} 10x + 4y = 6 \\ -10x + 4y = 6 \end{cases} \]

Сложим эти два уравнения:

\[ (10x + 4y) + (-10x + 4y) = 6 + 6 \]

\[ 10x + 4y - 10x + 4y = 12 \]

\[ 8y = 12 \]

\[ y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

Теперь подставим y = 3/2 в первое уравнение исходной системы (5x + 2y = 3):

\[ 5x + 2 * (\frac{3}{2}) = 3 \]

\[ 5x + 3 = 3 \]

\[ 5x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Вывод по способу 2:

Мы нашли конкретные значения x и y (x=0, y=3/2). Это означает, что система имеет одно решение.

Итоговый ответ:

Да, система имеет решения, и она имеет одно решение.