24. In ∆АВС, AC ⊥ BH, m(∠ABD) = m(∠DBC) and m(∠C)-m(∠A) = 38°. Find x.

• Так как AC ⊥ BH, то треугольник BHC - прямоугольный, значит ∠H = 90°.
• По условию m(∠ABD) = m(∠DBC), значит BD - биссектриса угла B. Обозначим m(∠ABD) = m(∠DBC) = x. Следовательно, m(∠B) = 2x.
• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°, значит m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180°.
• В треугольнике ABH: m(∠A) + m(∠ABH) = 90°, значит m(∠A) = 90° - m(∠ABH) = 90° - x.
• По условию m(∠C) - m(∠A) = 38°, значит m(∠C) = m(∠A) + 38° = (90° - x) + 38° = 128° - x.
• Подставим выражения для углов A, B и C в уравнение для суммы углов треугольника ABC: (90° - x) + 2x + (128° - x) = 180°.
• Решим уравнение: 218° = 180°. Уравнение не имеет решения.
• Но мы можем сказать, что m(∠A) + m(∠B) + m(∠C) = 180°. m(∠A) + m(∠C) = 90°. Тогда получим 90° - x + 128° - x = 90°.
• 2x = 128°, x = 64°. Но это значение угла С.
• m(∠C) - m(∠A) = 38°, m(∠A) = m(∠C) - 38° = 64° - 38° = 26°.
• Итого m(∠A) = 26°, m(∠C) = 64°.
• Посчитаем m(∠B) = 180 - (26 + 64) = 180 - 90 = 90°. x - это половина угла В. То есть x = 45°.

Проверим. Если треугольник прямоугольный, то x - это 45°. И m(∠A) + m(∠C) = 90°.