Integrate the following expression: \(\int \left(6x - \frac{8}{x^3} + 7x^5\right) dx\)

Решение:

• Интеграл от суммы/разности функций равен сумме/разности интегралов от этих функций:
• \[ \int \left(6x - \frac{8}{x^3} + 7x^5\right) dx = \int 6x dx - \int \frac{8}{x^3} dx + \int 7x^5 dx \]
• Вычисляем каждый интеграл отдельно:
• \[ \int 6x dx = 6 \int x^1 dx = 6 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 6 \frac{x^2}{2} + C_1 = 3x^2 + C_1 \]
• \[ \int \frac{8}{x^3} dx = 8 \int x^{-3} dx = 8 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = 8 \frac{x^{-2}}{-2} + C_2 = -4x^{-2} + C_2 = -\frac{4}{x^2} + C_2 \]
• \[ \int 7x^5 dx = 7 \int x^5 dx = 7 \frac{x^{5+1}}{5+1} + C_3 = 7 \frac{x^6}{6} + C_3 \]
• Объединяем результаты:
• \[ 3x^2 - \left(-\frac{4}{x^2}\right) + \frac{7x^6}{6} + C = 3x^2 + \frac{4}{x^2} + \frac{7x^6}{6} + C \]

Ответ: $$3x^2 + \frac{4}{x^2} + \frac{7x^6}{6} + C$$