Integrate the following expression: \(\int \left(8 - x^8 + \frac{4}{x^5}\right) dx\)

Решение:

• Интеграл от суммы/разности функций равен сумме/разности интегралов от этих функций:
• \[ \int \left(8 - x^8 + \frac{4}{x^5}\right) dx = \int 8 dx - \int x^8 dx + \int \frac{4}{x^5} dx \]
• Вычисляем каждый интеграл отдельно:
• \[ \int 8 dx = 8x + C_1 \]
• \[ \int x^8 dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} + C_2 = \frac{x^9}{9} + C_2 \]
• \[ \int \frac{4}{x^5} dx = 4 \int x^{-5} dx = 4 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_3 = 4 \frac{x^{-4}}{-4} + C_3 = -x^{-4} + C_3 = -\frac{1}{x^4} + C_3 \]
• Объединяем результаты:
• \[ 8x - \frac{x^9}{9} - \frac{1}{x^4} + C \]

Ответ: $$8x - \frac{x^9}{9} - \frac{1}{x^4} + C$$