Ира загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 446. Какую цифру зачеркнула Ира? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть загаданное число имеет вид $$\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$$, где $$a, b, c, d$$ - цифры от 0 до 9. После вычитания суммы цифр получается число $$N = \overline{abcd} - (a+b+c+d)$$. Это число $$N$$ делится на 9, так как $$\overline{abcd} \equiv a+b+c+d \pmod{9}$$, следовательно $$\overline{abcd} - (a+b+c+d) \equiv 0 \pmod{9}$$. Если зачеркнули одну цифру в числе $$N$$ и получили 446, то число $$N$$ могло быть вида $$\overline{x446}$$, $$\overline{4x46}$$, $$\overline{44x6}$$, $$\overline{446x}$$, где $$x$$ - зачеркнутая цифра. В каждом случае, сумма цифр числа $$N$$ должна быть кратна 9, так как $$N$$ делится на 9. 1. $$x+4+4+6 = x+14$$ кратно 9. Тогда $$x = 4$$. 2. $$4+x+4+6 = x+14$$ кратно 9. Тогда $$x = 4$$. 3. $$4+4+x+6 = x+14$$ кратно 9. Тогда $$x = 4$$. 4. $$4+4+6+x = x+14$$ кратно 9. Тогда $$x = 4$$. Таким образом, $$x=4$$. Ответ: Ира зачеркнула цифру 4.