Слово «ДОУМЕВАЯ» является деепричастием. Поскольку в предложении используется частица «НЕ» со значением отрицания, она пишется слитно с деепричастием.
Ответ: Искренне (НЕ)ДОУМЕВАЯ, вопрос журналиста администрация так и оставила без ответа.