«НЕ МЕШКАЯ» — это деепричастие. Частица «НЕ» с деепричастиями пишется слитно, если они не имеют зависимых слов и не содержат противопоставления.
Ответ: (НЕ) МЕШКАЯ, казаки выбежали во двор и вскочили на коней.