Используя функционально-графический метод √x = 6-х

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Заданное уравнение: \( itle{sqrt}(x) = 6 - x \)

Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Для \( itle{sqrt}(x) \) требуется, чтобы \( x ≥ 0 \).

Шаг 2: Построим график первой функции \( y = itle{sqrt}(x) \).

Это ветвь параболы \( y^2 = x \), расположенная в первой координатной четверти. Точки графика:

• \( (0, 0) \)
• \( (1, 1) \)
• \( (4, 2) \)
• \( (9, 3) \)

Шаг 3: Построим график второй функции \( y = 6 - x \).

Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• Если \( x = 0 \), то \( y = 6 - 0 = 6 \). Точка: \( (0, 6) \).
• Если \( y = 0 \), то \( 0 = 6 - x \), \( x = 6 \). Точка: \( (6, 0) \).
• Если \( x = 2 \), то \( y = 6 - 2 = 4 \). Точка: \( (2, 4) \).
• Если \( x = 3 \), то \( y = 6 - 3 = 3 \). Точка: \( (3, 3) \).

Шаг 4: Найдем точки пересечения графиков.

График \( y = itle{sqrt}(x) \) начинается в точке (0,0) и возрастает. График \( y = 6 - x \) — это убывающая прямая, пересекающая ось Y в точке (0,6) и ось X в точке (6,0).

Визуально, или путем подстановки значений, мы ищем такое \( x \), при котором \( itle{sqrt}(x) = 6 - x \).

Проверим точку \( x = 4 \):

• \( itle{sqrt}(4) = 2 \)
• \( 6 - 4 = 2 \)

Значения совпадают. Следовательно, \( x = 4 \) является решением.

Проверим \( x = 9 \):

• \( itle{sqrt}(9) = 3 \)
• \( 6 - 9 = -3 \)

Значения не совпадают.

Рассмотрим, есть ли другие пересечения. Функция \( itle{sqrt}(x) \) выпукла вверх, а \( y = 6 - x \) — прямая. Такие графики могут иметь не более двух точек пересечения. Мы нашли одну.

Перейдем к алгебраическому решению для проверки. Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( ( itle{sqrt}(x))^2 = (6 - x)^2 \)

\( x = 36 - 12x + x^2 \)

\( x^2 - 13x + 36 = 0 \)

Найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(1)(36) = 169 - 144 = 25 \).

\( x_1 = rac{-b + itle{sqrt}(D)}{2a} = rac{13 + itle{sqrt}(25)}{2(1)} = rac{13 + 5}{2} = rac{18}{2} = 9 \)

\( x_2 = rac{-b - itle{sqrt}(D)}{2a} = rac{13 - itle{sqrt}(25)}{2(1)} = rac{13 - 5}{2} = rac{8}{2} = 4 \)

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ и исходному уравнению, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.

Проверка \( x = 9 \):

• \( itle{sqrt}(9) = 3 \)
• \( 6 - 9 = -3 \)

\( 3 eq -3 \). Значит, \( x = 9 \) — посторонний корень.

Проверка \( x = 4 \):

• \( itle{sqrt}(4) = 2 \)
• \( 6 - 4 = 2 \)

\( 2 = 2 \). Значит, \( x = 4 \) — верный корень.

Таким образом, графически мы нашли, что графики пересекаются в точке \( x=4 \). Это подтверждается алгебраическим решением.

Ответ: 4