Методом замены переменной x⁴ – 13x² + 36 = 0

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Заданное уравнение: \( x^4 - 13x^2 + 36 = 0 \)

Шаг 1: Введем замену переменной.

Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 = (x^2)^2 = y^2 \).

Подставим замену в исходное уравнение:

\( y^2 - 13y + 36 = 0 \)

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \( y = rac{-b  itle{sqrt}(b^2 - 4ac)}{2a} \).

Здесь \( a = 1 \), \( b = -13 \), \( c = 36 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4(1)(36) = 169 - 144 = 25 \).

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = rac{-(-13) + itle{sqrt}(25)}{2(1)} = rac{13 + 5}{2} = rac{18}{2} = 9 \)

\( y_2 = rac{-(-13) - itle{sqrt}(25)}{2(1)} = rac{13 - 5}{2} = rac{8}{2} = 4 \)

Шаг 3: Сделаем обратную замену, чтобы найти значения \( x \).

У нас есть два значения для \( y \): \( y_1 = 9 \) и \( y_2 = 4 \).

Случай 1: \( y = 9 \)

Поскольку \( y = x^2 \), то \( x^2 = 9 \).

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\( x =  itle{sqrt}(9) \), что дает \( x =  3 \).

Случай 2: \( y = 4 \)

Поскольку \( y = x^2 \), то \( x^2 = 4 \).

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

\( x =  itle{sqrt}(4) \), что дает \( x =  2 \).

Шаг 4: Запишем все найденные корни.

Корни уравнения: \( 3, -3, 2, -2 \).

Ответ: 3, -3, 2, -2