Методом замены переменной (x²+2x)² – 2(x²+2x) – 3 = 0

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Заданное уравнение: \( (x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0 \)

Шаг 1: Введем замену переменной.

Пусть \( y = x^2 + 2x \).

Подставим замену в исходное уравнение:

\( y^2 - 2y - 3 = 0 \)

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \).

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \( y = rac{-b  itle{sqrt}(b^2 - 4ac)}{2a} \).

Здесь \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Найдем корни \( y \):

\( y_1 = rac{-(-2) + itle{sqrt}(16)}{2(1)} = rac{2 + 4}{2} = rac{6}{2} = 3 \)

\( y_2 = rac{-(-2) - itle{sqrt}(16)}{2(1)} = rac{2 - 4}{2} = rac{-2}{2} = -1 \)

Шаг 3: Сделаем обратную замену, чтобы найти значения \( x \).

У нас есть два значения для \( y \): \( y_1 = 3 \) и \( y_2 = -1 \).

Случай 1: \( y = 3 \)

Поскольку \( y = x^2 + 2x \), то \( x^2 + 2x = 3 \).

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Решим это уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

\( x_{1,2} = rac{-2  itle{sqrt}(16)}{2(1)} = rac{-2  4}{2} \)

\( x_1 = rac{-2 + 4}{2} = rac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = rac{-2 - 4}{2} = rac{-6}{2} = -3 \)

Случай 2: \( y = -1 \)

Поскольку \( y = x^2 + 2x \), то \( x^2 + 2x = -1 \).

Перенесем все члены в одну сторону:

\( x^2 + 2x + 1 = 0 \)

Это полный квадрат:

\( (x + 1)^2 = 0 \)

Извлечем квадратный корень:

\( x + 1 = 0 \)

\( x_3 = -1 \)

Шаг 4: Запишем все найденные корни.

Корни уравнения: \( 1, -3, -1 \).

Ответ: 1, -3, -1