13.12. Используя метод доказательства от противного, докажите, что если если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство от противного:

1. Предположим, что прямоугольные треугольники ABC и A1B1C1 не равны, при условии, что катет AB = A1B1 и угол C = C1.
2. Если треугольники не равны, то сторона BC не равна стороне B1C1. Пусть BC > B1C1.
3. Отложим на стороне BC отрезок BD = B1C1. Тогда получим треугольник ABD, где BD = B1C1.
4. Рассмотрим треугольники ABD и A1B1C1. У них AB = A1B1 (по условию), BD = B1C1 (по построению) и угол B = B1 (оба треугольника прямоугольные).
5. Тогда треугольники ABD и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними.
6. Из равенства треугольников следует, что угол ADB = угол C1. Так как по условию угол C = C1, то угол ADB = углу C.
7. Но угол ADB является внешним углом треугольника ADC и, следовательно, должен быть больше угла C, что противоречит условию.
8. Таким образом, наше предположение неверно, и треугольники ABC и A1B1C1 равны.

Ответ: Доказано, что треугольники равны.