Для начала определим степени окисления всех элементов в уравнении:
$$2KI + 2H_2SO_4 \rightarrow I_2 + MnSO_4 + H_2O$$
$$K^{+1}I^{-1} + H^{+1}_2S^{+6}O^{-2}_4 \rightarrow I_2^0 + Mn^{+2}S^{+6}O^{-2}_4 + H^{+1}_2O^{-2}$$
Здесь йод меняет степень окисления с -1 до 0, а марганец - с +7 до +2. Составим электронный баланс:
$$2I^{-1} - 2e^- \rightarrow I_2^0$$ (йод окисляется, отдает электроны, является восстановителем)
$$Mn^{+7} + 5e^- \rightarrow Mn^{+2}$$ (марганец восстанавливается, принимает электроны, является окислителем)
Теперь уравняем количество отданных и принятых электронов, найдя наименьшее общее кратное (10):
$$5 \cdot (2I^{-1} - 2e^- \rightarrow I_2^0)$$
$$2 \cdot (Mn^{+7} + 5e^- \rightarrow Mn^{+2})$$
Таким образом, получаем коэффициенты для йода и марганца:
$$10KI + 2KMnO_4 + H_2SO_4 \rightarrow 5I_2 + 2MnSO_4 + K_2SO_4 + H_2O$$
Затем уравниваем калий и серу. В левой части у нас 10 калия, а в правой 2+1=3, значит коэффициент перед серной кислотой будет 8.
$$10KI + 2KMnO_4 + 8H_2SO_4 \rightarrow 5I_2 + 2MnSO_4 + 6K_2SO_4 + H_2O$$
Чтобы уравнять калий, поставим перед сульфатом калия коэффициент 6:
$$10KI + 2KMnO_4 + 8H_2SO_4 \rightarrow 5I_2 + 2MnSO_4 + 6K_2SO_4 + 8H_2O$$
Проверим количество кислорода и водорода.
Окислитель: $$KMnO_4$$, восстановитель: $$KI$$