3. Используя свойства степеней, найдите значение выражения: 1) a) 3⁷ · (3²)⁸ : 3¹⁰; 6) 5²⁰ : (5²)⁵ : 5⁸; 2) a) 9⁴/3⁷; 6) 8⁵/4⁶; B) 27².9⁴/81²; 3) a) 10¹²/2⁶.5⁶; 6) 5¹⁶.3¹⁶/15¹⁴; B) 12⁶/3⁵.4⁵

Решение задания 3

Давай разберем по порядку каждый пункт, используя свойства степеней.

1) a) 3⁷ · (3²)⁸ : 3¹⁰

• Сначала упростим выражение, используя свойство степени степени: (aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ.
• (3²)⁸ = 3²ˣ⁸ = 3¹⁶
• Теперь выражение выглядит так: 3⁷ ⋅ 3¹⁶ : 3¹⁰
• Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: aᵇ ⋅ aᶜ = aᵇ⁺ᶜ.
• 3⁷ ⋅ 3¹⁶ = 3⁷⁺¹⁶ = 3²³
• Теперь выражение выглядит так: 3²³ : 3¹⁰
• Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ : aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• 3²³ : 3¹⁰ = 3²³⁻¹⁰ = 3¹³

Ответ: 3¹³

6) 5²⁰ : (5²)⁵ : 5⁸

• Сначала упростим выражение, используя свойство степени степени: (aᵇ)ᶜ = aᵇᶜ.
• (5²)⁵ = 5²ˣ⁵ = 5¹⁰
• Теперь выражение выглядит так: 5²⁰ : 5¹⁰ : 5⁸
• Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ : aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• 5²⁰ : 5¹⁰ = 5²⁰⁻¹⁰ = 5¹⁰
• Теперь выражение выглядит так: 5¹⁰ : 5⁸
• Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ : aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• 5¹⁰ : 5⁸ = 5¹⁰⁻⁸ = 5² = 25

Ответ: 25

2) a) 9⁴/3⁷

• Сначала представим 9 как 3²:
• 9⁴ = (3²)⁴ = 3⁸
• Теперь выражение выглядит так: 3⁸/3⁷
• Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ / aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• 3⁸ / 3⁷ = 3⁸⁻⁷ = 3¹ = 3

Ответ: 3

6) 8⁵/4⁶

• Представим 8 как 2³ и 4 как 2²:
• 8⁵ = (2³)⁵ = 2¹⁵
• 4⁶ = (2²)⁶ = 2¹²
• Теперь выражение выглядит так: 2¹⁵/2¹²
• Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ / aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• 2¹⁵ / 2¹² = 2¹⁵⁻¹² = 2³ = 8

Ответ: 8

B) 27².9⁴/81²

• Представим 27 как 3³, 9 как 3², и 81 как 3⁴:
• 27² = (3³)² = 3⁶
• 9⁴ = (3²)⁴ = 3⁸
• 81² = (3⁴)² = 3⁸
• Теперь выражение выглядит так: (3⁶ ⋅ 3⁸) / 3⁸
• Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: aᵇ ⋅ aᶜ = aᵇ⁺ᶜ.
• 3⁶ ⋅ 3⁸ = 3⁶⁺⁸ = 3¹⁴
• Теперь выражение выглядит так: 3¹⁴ / 3⁸
• Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ / aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• 3¹⁴ / 3⁸ = 3¹⁴⁻⁸ = 3⁶ = 729

Ответ: 729

3) a) 10¹²/2⁶.5⁶

• Представим 10 как 2 ⋅ 5:
• 10¹² = (2 ⋅ 5)¹² = 2¹² ⋅ 5¹²
• Теперь выражение выглядит так: (2¹² ⋅ 5¹²) / (2⁶ ⋅ 5⁶)
• Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ / aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• (2¹² / 2⁶) ⋅ (5¹² / 5⁶) = 2¹²⁻⁶ ⋅ 5¹²⁻⁶ = 2⁶ ⋅ 5⁶
• Теперь выражение выглядит так: 2⁶ ⋅ 5⁶
• Используем свойство умножения степеней с одинаковым показателем: aᵇ ⋅ bᵇ = (a ⋅ b)ᵇ.
• 2⁶ ⋅ 5⁶ = (2 ⋅ 5)⁶ = 10⁶ = 1000000

Ответ: 1000000

6) 5¹⁶.3¹⁶/15¹⁴

• Представим 15 как 5 ⋅ 3:
• 15¹⁴ = (5 ⋅ 3)¹⁴ = 5¹⁴ ⋅ 3¹⁴
• Теперь выражение выглядит так: (5¹⁶ ⋅ 3¹⁶) / (5¹⁴ ⋅ 3¹⁴)
• Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ / aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• (5¹⁶ / 5¹⁴) ⋅ (3¹⁶ / 3¹⁴) = 5¹⁶⁻¹⁴ ⋅ 3¹⁶⁻¹⁴ = 5² ⋅ 3²
• Теперь выражение выглядит так: 5² ⋅ 3²
• 5² = 25
• 3² = 9
• 25 ⋅ 9 = 225

Ответ: 225

B) 12⁶/3⁵.4⁵

• Представим 12 как 3 ⋅ 4:
• 12⁶ = (3 ⋅ 4)⁶ = 3⁶ ⋅ 4⁶
• Теперь выражение выглядит так: (3⁶ ⋅ 4⁶) / (3⁵ ⋅ 4⁵)
• Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: aᵇ / aᶜ = aᵇ⁻ᶜ.
• (3⁶ / 3⁵) ⋅ (4⁶ / 4⁵) = 3⁶⁻⁵ ⋅ 4⁶⁻⁵ = 3¹ ⋅ 4¹ = 3 ⋅ 4 = 12

Ответ: 12

Ты отлично справился с этим заданием! Понимание свойств степеней - ключевой навык в математике. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!