5. Выполняя задания на преобразование выражений, содержащих степени, ученик допустил следующие ошибки: 1) a) 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 5^3; б) (-3)^2 = -3 \cdot 3 = -9; в) 3^1 = 1; г) 0^0 = 1; 2) a) 3^6 \cdot 3^8 = 3^{48}; б) 2^6 \cdot 2^7 = 4^{13}; в) 3^5 + 3^8 = 3^{13}; г) 5^6 : 5^3 = 2^2; 3) a) (3a)^4 = 3a^4; б) (x^3)^3 = x^{27}; в) (a)^4 \cdot (a^4)^6 = (a^4)^{10} = a^{40}.

1) a) Ошибка в том, что ученик не понял, что степень показывает, сколько раз число умножается само на себя. Правильно: $$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^5$$ б) Ошибка в знаке. Ученик не понял, что отрицательное число в квадрате дает положительное число. Правильно: $$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$$ в) Ошибка в том, что любое число в первой степени равно самому себе. Правильно: $$3^1 = 3$$ г) $$0^0$$ не определено, но обычно считают, что $$0^0 = 1$$. Однако это нужно уточнять в контексте. 2) a) Ученик неправильно умножил показатели степеней при умножении степеней с одинаковым основанием. Правильно: $$3^6 \cdot 3^8 = 3^{6+8} = 3^{14}$$ б) Ученик не понял, что при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а показатели складываются. Правильно: $$2^6 \cdot 2^7 = 2^{6+7} = 2^{13}$$ в) Ученик неправильно сложил степени. Сложение степеней возможно только если складываются одинаковые степени. Сумма степеней с разными показателями не упрощается. $$3^5 + 3^8$$ нельзя упростить до $$3^{13}$$. г) Ученик вычел основание, а не показатели степеней. Правильно: $$5^6 : 5^3 = 5^{6-3} = 5^3$$ 3) a) Ученик не возвел числовой коэффициент в степень. Правильно: $$(3a)^4 = 3^4 \cdot a^4 = 81a^4$$ б) Ученик неправильно перемножил показатели степеней. $$(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$$. Ошибка в том, что ученик перепутал умножение с возведением в степень. в) Ошибка в том, что ученик сложил показатели степеней $$(a^4)^6$$ как будто это умножение степеней с одинаковыми основаниями. Правильно: $$(a^4)^6 = a^{4\cdot6} = a^{24}$$ и $$(a)^4 \cdot (a^4)^6 = a^4 \cdot a^{24} = a^{28}$$