3. Исследовать функцию на экстремум, выпуклость (вогнутость) и найти точки перегиба: 1 y=x³ +1,5x2−1 3 2) y = -0,25x48x 3) y = 2x - x 1 4) y =x3 = x³-x+2 1 5) y = x²-2x²-4x+1 3 6) 1 y=-x³-x²-3x+9 3 7) y = 2x² +3x3 1 y = x²-2x²+3x-1 8) 3 1 y =x3+x²-3x-9 9) 3 10) y = x³-3x+1

3. Исследовать функцию на экстремум, выпуклость (вогнутость) и найти точки перегиба:

1) \(y = \frac{1}{3}x^3 + 1.5x^2 - 1\)

Первая производная: \(y' = x^2 + 3x\)

Вторая производная: \(y'' = 2x + 3\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 + 3x = 0 \Rightarrow x(x+3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -3\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}\)

2) \(y = -0.25x^4 - 8x\)

Первая производная: \(y' = -x^3 - 8\)

Вторая производная: \(y'' = -3x^2\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow -x^3 - 8 = 0 \Rightarrow x^3 = -8 \Rightarrow x = -2\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow -3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\)

3) \(y = 2x^4 - x\)

Первая производная: \(y' = 8x^3 - 1\)

Вторая производная: \(y'' = 24x^2\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow 8x^3 - 1 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 24x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\)

4) \(y = \frac{1}{3}x^3 - x + 2\)

Первая производная: \(y' = x^2 - 1\)

Вторая производная: \(y'' = 2x\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\)

5) \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 4x + 1\)

Первая производная: \(y' = x^2 - 4x - 4\)

Вторая производная: \(y'' = 2x - 4\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)

6) \(y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9\)

Первая производная: \(y' = x^2 - 2x - 3\)

Вторая производная: \(y'' = 2x - 2\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -1\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\)

7) \(y = 2x^2 + \frac{1}{3}x^3\)

Первая производная: \(y' = 4x + x^2\)

Вторая производная: \(y'' = 4 + 2x\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow 4x + x^2 = 0 \Rightarrow x(4 + x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = -4\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 4 + 2x = 0 \Rightarrow x = -2\)

8) \(y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1\)

Первая производная: \(y' = x^2 - 4x + 3\)

Вторая производная: \(y'' = 2x - 4\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)

9) \(y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x - 9\)

Первая производная: \(y' = x^2 + 2x - 3\)

Вторая производная: \(y'' = 2x + 2\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 1\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1\)

10) \(y = x^3 - 3x + 1\)

Первая производная: \(y' = 3x^2 - 3\)

Вторая производная: \(y'' = 6x\)

Экстремумы: \(y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -1\)

Точки перегиба: \(y'' = 0 \Rightarrow 6x = 0 \Rightarrow x = 0\)

Ответ: Решения указаны выше