*Исследовательское*: найдите все треугольники, длины сторон которых выражены натуральными числами и а) не превосходят числа 2; б) периметр треугольника равен 5

а) Длины сторон не превосходят числа 2. Это означает, что каждая сторона может быть равна 1 или 2.

• Если все стороны равны 1, то 1 + 1 > 1, неравенство треугольника выполняется. (1, 1, 1) - существует.
• Если две стороны равны 1, а одна сторона равна 2, то 1 + 1 = 2, неравенство треугольника не выполняется.
• Если одна сторона равна 1, а две стороны равны 2, то 2 + 2 > 1, неравенство треугольника выполняется. (2, 2, 1) - существует.
• Если все стороны равны 2, то 2 + 2 > 2, неравенство треугольника выполняется. (2, 2, 2) - существует.

Треугольники, длины сторон которых не превосходят числа 2: (1, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 2).

б) Периметр треугольника равен 5. Возможные варианты длин сторон (натуральные числа):

• 1 + 1 + 3 = 5. Проверим неравенство треугольника: 1 + 1 < 3 (не выполняется).
• 1 + 2 + 2 = 5. Проверим неравенство треугольника: 1 + 2 = 3 > 2 (выполняется).

Ответ: а) (1, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 2, 2). б) (1, 2, 2).