2.102. Исследуйте функцию на четность: a) f(x) = -2x^5; б) f(x) = 3|x| + 1; в) f(x) = sqrt(x-8); г)* f(x) = |x + 7| - |x - 7|.

Исследование функции на четность подразумевает определение, является ли функция четной, нечетной или ни тем, ни другим.

а) $$f(x) = -2x^5$$
$$f(-x) = -2(-x)^5 = -2(-x^5) = 2x^5$$
$$-f(x) = -(-2x^5) = 2x^5$$
Так как $$f(-x) = -f(x)$$, функция является нечетной.

б) $$f(x) = 3|x| + 1$$
$$f(-x) = 3|-x| + 1 = 3|x| + 1$$
Так как $$f(-x) = f(x)$$, функция является четной.

в) $$f(x) = \sqrt{x - 8}$$
Область определения функции: $$x \geq 8$$. $$f(-x) = \sqrt{-x - 8}$$. Так как область определения несимметрична относительно нуля, функция не является ни четной, ни нечетной.

г) $$f(x) = |x + 7| - |x - 7|$$
$$f(-x) = |-x + 7| - |-x - 7| = |7 - x| - |-(x + 7)| = |7 - x| - |x + 7|$$
$$-f(x) = -(|x + 7| - |x - 7|) = -|x + 7| + |x - 7| = |x - 7| - |x + 7|$$
Так как $$f(-x) = -f(x)$$, функция является нечетной.

Вывод:
а) Нечетная.
б) Четная.
в) Ни четная, ни нечетная.
г) Нечетная.