Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график: 1. \(f(x)=\frac14(x+3)(x-3)^2\).

Область определения: \(\mathbb R\).

Найдём производную:

\(f'(x)=\frac14\bigl((x-3)^2+2(x+3)(x-3)\bigr)=\frac34(x-3)(x+1)\).

Критические точки: \(x=-1\) и \(x=3\). Производная положительна на \((-\infty,-1)\) и \((3,+\infty)\), отрицательна на \((-1,3)\). Значит, функция возрастает на \((-\infty,-1)\) и \((3,+\infty)\), убывает на \((-1,3)\).

\(f(-1)=8\), поэтому в точке \((-1,8)\) — максимум; \(f(3)=0\), поэтому в точке \((3,0)\) — минимум. Нули: \(x=-3\) и \(x=3\); при \(x=3\) график касается оси \(Ox\). Пересечение с осью \(Oy\): \(f(0)=\frac{27}{4}\).