Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график: 3. \(f(x)=\frac{x^2-x-6}{x+1}\).

Область определения: \(\mathbb R\setminus\{-1\}\).

Разделим многочлены: \(f(x)=x-2-\frac4{x+1}\). Отсюда видны вертикальная асимптота \(x=-1\) и наклонная асимптота \(y=x-2\).

Найдём производную: \(f'(x)=1+\frac4{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2+4}{(x+1)^2}>0\) при всех допустимых \(x\). Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty,-1)\) и \((-1,+\infty)\); экстремумов нет.

Нули: \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0\), то есть \(x=-2\) и \(x=3\). Пересечение с осью \(Oy\): \(f(0)=-6\). При \(x\to-1-\) функция стремится к \(+\infty\), а при \(x\to-1+\) — к \(-\infty\).