Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график: 2. \(f(x)=\frac{x^2-6}{x^2+1}\).

Область определения: \(\mathbb R\), поскольку \(x^2+1>0\).

\(f'(x)=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-6)}{(x^2+1)^2}=\frac{14x}{(x^2+1)^2}\).

Критическая точка: \(x=0\). Производная отрицательна при \(x<0\) и положительна при \(x>0\), поэтому функция убывает на \((-\infty,0)\) и возрастает на \((0,+\infty)\). В точке \(x=0\) достигается минимум: \(f(0)=-6\).

Нули функции: \(x=\pm\sqrt6\). Функция чётная. При \(x\to\pm\infty\) она стремится к \(1\), поэтому горизонтальная асимптота — \(y=1\).