9. Исследуйте на возрастание (убывание) и экстремумы функ- цию: a) f (x) = xe5х; 6) f (x) = x²2-x; в) f (x) = xe-*; r) f (x) = x10,5*.

Ответ: а) возрастает при x > -0.2, убывает при x < -0.2, экстремум в точке x = -0.2; б) возрастает при x < 2, убывает при x > 2, экстремум в точке x = 2; в) возрастает при x < 1, убывает при x > 1, экстремум в точке x = 1; г) возрастает при x > 0, экстремумов нет.

Решение:

a) \( f(x) = xe^{5x} \)

Найдем первую производную:

\[ f'(x) = e^{5x} + x \cdot 5e^{5x} = e^{5x}(1 + 5x) \]

Определим критические точки:

\[ 1 + 5x = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{5} = -0.2 \]

Исследуем знак производной:

• При \( x < -0.2 \), \( f'(x) < 0 \) (функция убывает)
• При \( x > -0.2 \), \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)

Таким образом, в точке \( x = -0.2 \) функция имеет минимум.

б) \( f(x) = x^2 2^{-x} \)

Найдем первую производную:

\[ f'(x) = 2x \cdot 2^{-x} + x^2 \cdot 2^{-x} \cdot (-\ln 2) = 2^{-x}(2x - x^2 \ln 2) \]

Определим критические точки:

\[ 2x - x^2 \ln 2 = 0 \Rightarrow x(2 - x \ln 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = \frac{2}{\ln 2} \approx 2.885 \]

Исследуем знак производной (учитывая, что \(2^{-x} > 0\)):

• При \( x < 0 \), \( f'(x) < 0 \)
• При \( 0 < x < \frac{2}{\ln 2} \), \( f'(x) > 0 \)
• При \( x > \frac{2}{\ln 2} \), \( f'(x) < 0 \)

Точка \(x=0\) - минимум, точка \(x=\frac{2}{\ln 2}\) - максимум.

в) \( f(x) = xe^{-x} \)

Найдем первую производную:

\[ f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x) \]

Определим критические точки:

\[ 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \]

Исследуем знак производной:

• При \( x < 1 \), \( f'(x) > 0 \) (функция возрастает)
• При \( x > 1 \), \( f'(x) < 0 \) (функция убывает)

Таким образом, в точке \( x = 1 \) функция имеет максимум.

г) \( f(x) = x^{0.5} \)

Найдем первую производную:

\[ f'(x) = 0.5x^{-0.5} = \frac{0.5}{\sqrt{x}} \]

Производная всегда положительна при \( x > 0 \), поэтому функция возрастает на всей области определения и не имеет экстремумов.

Ответ: а) возрастает при x > -0.2, убывает при x < -0.2, экстремум в точке x = -0.2; б) возрастает при x < 2, убывает при x > 2, экстремум в точке x = 2; в) возрастает при x < 1, убывает при x > 1, экстремум в точке x = 1; г) возрастает при x > 0, экстремумов нет.