x6 e-x 8. a) y = ; 4*+5 6) y=; x²+2' 3* 0,3-x в) у=- r) y = √x+0,5 2x+5*

Ответ: а) y' = (6x^5(4x+5) - 4x^6)/(4x+5)^2; б) y' = (-e^(-x)(x^2+2) - 2xe^(-x))/(x^2+2)^2; в) y' = 3/(2x+5)^2; г) y' = (0.3 + 0.5x^(-0.5))/(2√(x + 0.5))

Решение:

а) \( y = \frac{x^6}{4x + 5} \)

Применяем правило частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

\[ y' = \frac{(x^6)'(4x + 5) - x^6(4x + 5)'}{(4x + 5)^2} = \frac{6x^5(4x + 5) - x^6 \cdot 4}{(4x + 5)^2} = \frac{24x^6 + 30x^5 - 4x^6}{(4x + 5)^2} = \frac{20x^6 + 30x^5}{(4x + 5)^2} \]

б) \( y = \frac{e^{-x}}{x^2 + 2} \)

Применяем правило частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

\[ y' = \frac{(e^{-x})'(x^2 + 2) - e^{-x}(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-e^{-x}(x^2 + 2) - e^{-x}(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-e^{-x}(x^2 + 2 + 2x)}{(x^2 + 2)^2} \]

в) \( y = \frac{3x}{2x + 5} \)

Применяем правило частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

\[ y' = \frac{(3x)'(2x + 5) - 3x(2x + 5)'}{(2x + 5)^2} = \frac{3(2x + 5) - 3x(2)}{(2x + 5)^2} = \frac{6x + 15 - 6x}{(2x + 5)^2} = \frac{15}{(2x + 5)^2} \]

г) \( y = \sqrt{\frac{0.3 - x}{x + 0.5}} \)

Применяем правило цепочки: \( (\sqrt{u(x)})' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} \)

\[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{0.3 - x}{x + 0.5}}} \cdot \left(\frac{0.3 - x}{x + 0.5}\right)'\]

Сначала найдем производную \( (\frac{0.3 - x}{x + 0.5})' \) по правилу частного:

\[ \left(\frac{0.3 - x}{x + 0.5}\right)' = \frac{(0.3 - x)'(x + 0.5) - (0.3 - x)(x + 0.5)'}{(x + 0.5)^2} = \frac{-1(x + 0.5) - (0.3 - x)(1)}{(x + 0.5)^2} = \frac{-x - 0.5 - 0.3 + x}{(x + 0.5)^2} = \frac{-0.8}{(x + 0.5)^2} \]

Теперь подставим это обратно в основное выражение:

\[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{0.3 - x}{x + 0.5}}} \cdot \frac{-0.8}{(x + 0.5)^2} = \frac{-0.8}{2(x + 0.5)^2 \sqrt{\frac{0.3 - x}{x + 0.5}}} = \frac{-0.4}{(x + 0.5)^2 \sqrt{\frac{0.3 - x}{x + 0.5}}} \]

Ответ: а) y' = (6x^5(4x+5) - 4x^6)/(4x+5)^2; б) y' = (-e^(-x)(x^2+2) - 2xe^(-x))/(x^2+2)^2; в) y' = 3/(2x+5)^2; г) y' = (0.3 + 0.5x^(-0.5))/(2√(x + 0.5))