Найдите производную каждой из функций (7-8). 7. a) y = ex sin; 2 6) y = 72 tg 3x; в) у = ex cos 2x; r) y = 2-* ctg 3

Ответ: a) y' = e^x(sin(x/2) + 0.5cos(x/2)); б) y' = 144tg(3x)ln(7) ; в) y' = e^x(cos(2x) - 2sin(2x)); г) y' = -ln(2)2^(-x)ctg(x/3) - (2^(-x))/(3sin^2(x/3))

Решение:

а) \( y = e^x \sin{\frac{x}{2}} \)

Применяем правило произведения: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \)

\[ y' = (e^x)' \sin{\frac{x}{2}} + e^x (\sin{\frac{x}{2}})' = e^x \sin{\frac{x}{2}} + e^x \cdot \cos{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = e^x (\sin{\frac{x}{2}} + \frac{1}{2} \cos{\frac{x}{2}}) \]

б) \( y = 7^{2 \tan{3x}} \)

Применяем правило дифференцирования сложной функции: \( (a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln{a} \cdot u'(x) \)

\[ y' = 7^{2 \tan{3x}} \ln{7} \cdot (2 \tan{3x})' = 7^{2 \tan{3x}} \ln{7} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\cos^2{3x}} \cdot 3 = 6 \ln{7} \cdot 7^{2 \tan{3x}} \cdot \frac{1}{\cos^2{3x}} \]

в) \( y = e^x \cos{2x} \)

Применяем правило произведения: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \)

\[ y' = (e^x)' \cos{2x} + e^x (\cos{2x})' = e^x \cos{2x} + e^x(-\sin{2x} \cdot 2) = e^x(\cos{2x} - 2\sin{2x}) \]

г) \( y = 2^{-x} \cot{\frac{x}{3}} \)

Применяем правило произведения: \( (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \)

\[ y' = (2^{-x})' \cot{\frac{x}{3}} + 2^{-x} (\cot{\frac{x}{3}})' = -2^{-x} \ln{2} \cot{\frac{x}{3}} + 2^{-x} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2{\frac{x}{3}}} \cdot \frac{1}{3}\right) = -2^{-x} \ln{2} \cot{\frac{x}{3}} - \frac{2^{-x}}{3 \sin^2{\frac{x}{3}}} \]

Ответ: a) y' = e^x(sin(x/2) + 0.5cos(x/2)); б) y' = 144tg(3x)ln(7) ; в) y' = e^x(cos(2x) - 2sin(2x)); г) y' = -ln(2)2^(-x)ctg(x/3) - (2^(-x))/(3sin^2(x/3))