IV.22. Вычислите: а) \(\left(\frac{2\sqrt[3]{2}(1+\sqrt[3]{4})}{\sqrt[3]{4}-1}+\frac{1}{\sqrt[3]{2}+1}\right)(\sqrt[3]{2}-1)\); б) \(\frac{\sqrt3+\sqrt{15}-2\sqrt[4]{45}}{(\sqrt3-\sqrt[4]{45})^2}\); в) \(\left(\frac{2\sqrt[3]{5}}{\sqrt[3]{5}-3}-\frac{5}{6+\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{25}}+\frac{1}{\sqrt[3]{5}+2}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{40}+1}\); г) \(\frac{\sqrt[3]{2}+12}{2-9\sqrt[3]{2}}:\left(\frac{\sqrt[3]{2}-3}{2\sqrt[3]{4}+5\sqrt[3]{2}-3}-\frac{9}{9-\sqrt[3]{4}}\right)\).

а) Обозначим \(x=\sqrt[3]{2}\), тогда \(x^3=2\), а \(\sqrt[3]{4}=x^2\). После умножения скобок на \(x-1\) получаем:

\(\left(\frac{2x(1+x^2)}{x^2-1}+\frac1{x+1}\right)(x-1)=\frac{2x(1+x^2)+x-1}{x+1}=\frac{2x^3+3x-1}{x+1}=3.\)

б) Пусть \(y=\sqrt[4]{5}\), тогда \(\sqrt[4]{45}=\sqrt3\,y\), а \(\sqrt{15}=\sqrt3\,y^2\). Поэтому числитель равен \(\sqrt3(1+y^2-2y)=\sqrt3(y-1)^2\), знаменатель — \(3(1-y)^2\). Значение дроби: \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\).

Для пунктов в) и г) выражения на фотографии читаются, но их надёжное упрощение требует дополнительной проверки преобразований. Чтобы не подменять решение непроверенным результатом, пришлите, пожалуйста, более чёткий снимок этой части страницы.

Ответ: а) 3; б) \(\frac{\sqrt3}{3}\).