IV.23. Сократите дроби: а) \(\frac{\sqrt[4]{ab^5}-\sqrt[4]{a^5b}}{\sqrt[4]{ab^3}-\sqrt[4]{a^3b}}\); б) \(\frac{\sqrt[4]{x^2}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x^3y}-\sqrt[4]{xy^3}}\).

а) При допустимых значениях корней вынесем общие множители:

\(\sqrt[4]{ab^5}=b\sqrt[4]{ab},\quad \sqrt[4]{a^5b}=a\sqrt[4]{ab},\quad \sqrt[4]{ab^3}=b^{1/2}\sqrt[4]{ab},\quad \sqrt[4]{a^3b}=a^{1/2}\sqrt[4]{ab}.\)

Тогда дробь сокращается до \(\frac{b-a}{\sqrt b-\sqrt a}=\sqrt a+\sqrt b\), поскольку \(b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)\).

б) Вынесем \(\sqrt[4]{xy}\): числитель равен \(\sqrt[4]{xy}(\sqrt[4]{x/y}+1)\), знаменатель — \(\sqrt[4]{xy}(\sqrt[4]{x^2}-\sqrt[4]{y^2})\). Получаем \(\frac{\sqrt[4]{x/y}+1}{\sqrt x-\sqrt y}\). В школьной записи это эквивалентно \(\frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}{\sqrt[4]{xy}(\sqrt x-\sqrt y)}\); без дополнительных условий на переменные исходная дробь должна быть определена.